Pascal üçgeni , cebirde, herhangi bir iki terimli ifadenin açılımındaki katsayıları veren sayıların üçgen şeklinde düzenlenmesi, örneğin ( x + Y ) n . Adını 17. yüzyıl Fransız matematikçisi Blaise Pascal'dan alıyor ama çok daha eski. Çinli matematikçi Jia Xian, 11. yüzyılda katsayılar için üçgen bir temsil tasarladı. Onun üçgeni 13. yüzyılda Çinli matematikçi Yang Hui tarafından daha fazla incelenmiş ve popüler hale getirilmiştir. Çin genellikle Yanghui üçgeni olarak adlandırılır. Çinli matematikçi Zhu Shijie'nin kitabında bir örnek olarak yer aldı. Siyuan yujian (1303; Dört Elementin Değerli Aynası), burada zaten Eski Yöntem olarak adlandırılıyordu. Dikkat çekici katsayı modeli 11. yüzyılda İranlı şair ve astronom Omar Khayyam tarafından da incelenmiştir.
Çinli matematikçi Jia Xian, 11. yüzyılda iki terimli ifadelerin genişlemesinde katsayılar için üçgen bir temsil tasarladı. Üçgeni 13. yüzyılda Çinli matematikçi Yang Hui tarafından daha fazla incelendi ve popüler hale getirildi, bu nedenle Çin'de genellikle Yanghui üçgeni olarak adlandırılır. Zhu Shijie'nin kitabında bir örnek olarak yer aldı. Siyuan yujian (1303; Dört Elementin Değerli Aynası), burada zaten Eski Yöntem olarak adlandırılıyordu. Dikkat çekici katsayı modeli, 11. yüzyılda İranlı şair ve astronom Omar Khayyam tarafından da incelenmiştir. 1665'te Batı'da Fransız matematikçi Blaise Pascal tarafından Pascal üçgeni olarak bilinen yeniden icat edildi. Cambridge Üniversitesi Kütüphanesi Sendikalarının izniyle
Üçgen, önce sol ve sağ kenarlara 1 (Çince —) yerleştirilerek oluşturulabilir. Daha sonra, üçgendeki her konumun solundaki ve sağındaki iki sayıyı bir araya getirerek üçgen üstten doldurulabilir. Böylece, Hindu-Arap rakamlarıyla üçüncü sıra 1 2 1, dördüncü sıra 1 4 6 4 1, beşinci sıra 1 5 10 10 5 1 ve bu şekilde devam eder. İlk satır veya sadece 1, ( x + Y )0= 1; ikinci satır veya 1 1, ( x + Y )1= x + Y ; üçüncü satır veya 1 2 1, ( x + Y )iki= x iki+ 2 x Y + Y iki; ve benzeri.
Üçgen birçok ilginç desen gösterir. Örneğin, paralel sığ köşegenler çizmek ve her bir satırdaki sayıları bir araya getirmek, ilk olarak ilk kez not edilen Fibonacci sayılarını (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…,) üretir. Ortaçağa ait İtalyan matematikçi Leonardo Pisano (Fibonacci) ücretsiz abaci (1202; Abaküs Kitabı).
Pascal üçgeninin her bir sığ köşegeni boyunca sayıları toplamak, Fibonacci dizisini üretir: 1, 1, 2, 3, 5,…. Ansiklopedi Britannica, Inc.
Üçgenin bir başka ilginç özelliği de, tek sayıları içeren tüm konumlar siyah, çift sayıları içeren tüm konumlar beyaz gölgeliyse, bir fraktal 20. yüzyıl Polonyalı matematikçisi Wacław Sierpiński'den sonra Sierpinski aygıtı olarak bilinen, oluşturulacak.
Polonyalı matematikçi Wacław Sierpiński, 1915'te kendi adını taşıyan fraktalı tanımladı, ancak bir sanat motifi olarak tasarım en az 13. yüzyıl İtalya'sına kadar uzanıyor. Düz bir eşkenar üçgenle başlayın ve her iki tarafın orta noktalarını birleştirerek oluşan üçgeni çıkarın. Ortaya çıkan üç iç üçgenin kenarlarının orta noktaları, dokuz daha küçük iç üçgen oluşturmak üzere çıkarılabilen üç yeni üçgen oluşturmak üzere birleştirilebilir. Üçgen parçaları kesme işlemi süresiz olarak devam eder ve Hausdorff boyutu 1,5'ten biraz daha büyük olan bir bölge üretir (bir boyutlu bir figürden daha fazla, ancak iki boyutlu bir figürden daha küçük olduğunu gösterir). Ansiklopedi Britannica, Inc.
